Question

已知m，n∈R，f（x）=x²-mnx．
（1）當n=1時，
①解關于x的不等式f（x）＞2m²；
②若關于x的不等式f（x）+4＞0在x∈[1，3]上有解，求m的取值范圍；
（2）若m＞0，n＞0，且m+n=1，證明不等式f(

1

m

)+f(

1

n

)≥7．

Answer 1

分析：（1）①當n=1時，不等式f（x）＞2m²，即x²-mx-2m²＞0化為（x-2m）（x+m）＞0；對m分類討論可得，即可得到不等式的解集．
②關于x的不等式f（x）+4＞0化為x²-mx+4＞0，即此不等式在x∈[1，3]上有解?m＜(x+

4

x

)max，x∈[1，3]．令g（x）=x+

4

x

，x∈[1，3]．利用導數求出此函數的最大值即可．
（2）由已知可得：f(

1

m

)+f(

1

n

)=

1

m2

-n+

1

n2

-m=

(m+n)2-2mn

m2n2

-1=

1

m2n2

-

2

mn

-1═(

1

mn

-1)2-2，
由于m＞0，n＞0，且m+n=1，可得1≥2

mn

，解得0＜mn≤

1

4

，即

1

mn

≥4．于是(

1

mn

-1)2≥9，即可證明結論．

解答：解：（1）①當n=1時，不等式f（x）＞2m²，即x²-mx-2m²＞0化為（x-2m）（x+m）＞0；
對m分類討論可得：當m＞0時，不等式的解集為{x|x＞2m或x＜-m}；
當m=0時，不等式化為x²＞0，其解集為{x|x≠0}；
當m＜0時，不等式的解集為{x|x＞-m或x＜2m}．
②關于x的不等式f（x）+4＞0化為x²-mx+4＞0，即此不等式在x∈[1，3]上有解．
?m＜(x+

4

x

)max，x∈[1，3]．
令g（x）=x+

4

x

，x∈[1，3]．則g′(x)=1-

4

x2

=

x2-4

x2

．
令g′（x）=0解得x=2．令g′（x）＞0，解得2＜x＜3，函數g（x）在此區間上單調遞增；令g′（x）＜0，解得1＜x＜2．
函數g（x）在此區間上單調遞減．由g（1）=5，g（3）=4+

1

3

，∴g（x）_max=5．
∴m＜5．
∴m的取值范圍為（-∞，5）；
（2）證明：f(

1

m

)+f(

1

n

)=

1

m2

-n+

1

n2

-m=

(m+n)2-2mn

m2n2

-1=

1

m2n2

-

2

mn

-1
=(

1

mn

-1)2-2，
∵m＞0，n＞0，且m+n=1，
∴1≥2

mn

，解得0＜mn≤

1

4

，
∴

1

mn

≥4．當且僅當m=n=

1

2

時取等號．
∴(

1

mn

-1)2≥9，
∴不等式f(

1

m

)+f(

1

n

)≥7成立．

點評：本題綜合考查了一元二次不等式的解法、二次函數的單調性、基本不等式的性質、分類討論、分離參數法、利用導數研究函數的單調性極值與最值等基礎知識與基本方法，屬于難題．