Question

集合A滿足：若a∈A，則有

2a

2a+1

∈A；
（1）若集合A為單元素集合，求a和集合A；
（2）是否存在實數a，使集合A中有且僅有兩個元素；若存在，求出集合A，若不存在，說明理由；
（3）是否存在實數a，使集合A中有且僅有三個元素；若存在，求出集合A，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）集合A為單元素集合，故a=

2a

2a+1

，解出即可；
（2）集合A中有且僅有兩個元素，故a≠

2a

2a+1

并且a=

2× 2a 2a+1

2× 2a 2a+1 +1

，有解則集合存在，無解則集合不存在；
（3）若集合A中有且僅有三個元素，則a≠

2a

2a+1

，a≠

2× 2a 2a+1

2× 2a 2a+1 +1

=

4a

6a+1

，a=

2× 4a 6a+1

2× 4a 6a+1 +1

=

8a

14a+1

，有解則集合存在，無解則集合不存在．

解答：解：（1）由于集合A為單元素集合，故a=

2a

2a+1

，解得a=0或a=

1

2

當a=0時，集合={0}；當a=

1

2

時，集合={

1

2

}；
（2）集合A中有且僅有兩個元素，故a≠

2a

2a+1

并且a=

2× 2a 2a+1

2× 2a 2a+1 +1

=

4a

6a+1

，
由于方程組無解，故不存在實數a，使集合A中有且僅有兩個元素；
（3）若集合A中有且僅有三個元素，則a≠

2a

2a+1

，a≠

2× 2a 2a+1

2× 2a 2a+1 +1

=

4a

6a+1

，a=

2× 4a 6a+1

2× 4a 6a+1 +1

=

8a

14a+1

，
由于方程組無解，故不存在實數a，使集合A中有且僅有三個元素．

點評：此題主要考查元素與集合的關系，以方程的求解為載體，考查的知識點比較全面，是一道基礎題；