Question

已知函數f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e為自然對數的底數）．
（1）求函數f（x）=的單調區間；
（2）記函數f（x）=的最小值為g（a），求g（a）取最大值時實數a的值；
（3）在（2）的條件下，證明：（

1

n

）ⁿ+（

2

n

）ⁿ+…+（

n-1

n

）ⁿ+（

n

n

）ⁿ＜

e

e-1

（其中n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函數的單調增區間、減區間；
（2）由（1）易求最小值g（a），利用導數可求得g（a）的最大值及相應的a值；
（3）由（2）知，當a=1時，對任意實數x均有f（x）≥g（1）=0，即e^x-x-1≥0，即1+x≤e^x．令x=-

k

n

（n∈N^*，k=0，1，2，3，…，n-1），則0＜1-

k

n

≤e-

k

n

，從而可得(1-

k

n

)n≤(e-

k

n

)n=e-k，
利用該不等式進行適當放縮可得結論；

解答：（1）解：由題意a＞0，f′（x）=e^x-a，
由f′（x）=e^x-a=0，得x=lna．
當x∈（-∞，lna）時，f′（x）＜0；當x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0．
∴f（x）的單調遞減區間為（-∞，lna），單調遞增區間為（lna，+∞）．
（2）解：由（1）知，當x=lna時，f（x）取得極小值，也為最小值，
其最小值為g（a）=f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1．
由g′（a）=1-lna-1=-lna=0，得a=1．
∴g（a）在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減，
∴g（a）在a=1處取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）取得最大值時，a=1．
（3）證明：由（2）知，當a=1時，對任意實數x均有f（x）≥g（1）=0，即e^x-x-1≥0，即1+x≤e^x．
令x=-

k

n

（n∈N^*，k=0，1，2，3，…，n-1），則0＜1-

k

n

≤e-

k

n

，
∴(1-

k

n

)n≤(e-

k

n

)n=e-k，
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n≤e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-2+e^-1+1=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

=

e

e-1

．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、最值，綜合性較強，難度較高，（3）問運用最值構造不等式進行放縮是解決問題的關鍵．