Question

設定義在R上的函數f（x）對于任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，當x＞0時，f（x）＜0
（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）試問：當-3≤x=0≤3時，x=1是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有，說明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0求出f（0）=0，再令y=-x代入式子化簡，結合函數奇偶性的定義，可得f（x）是奇函數；
（2）設-3≤x₁＜x₂≤3，且x₁＜x₂，結合f（x+y）=f（x）+f（y）可得f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），由x＞0時，有f（x）＞0，可得f（x₂）＞f（x₁），證明函數在[-3，3]上單調遞減，再利用賦值法和條件，分別求出函數最大值和最小值．

解答：解：（1）令x=y=0，可得f（0）=0，
令y=-x，則f（0）=f（-x）+f（x），
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數，
（2）設-3≤x₁＜x₂≤3，令y=-x₁，x=x₂
則f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），
因為x＞0時，f（x）＜0，
故f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0．
∴f（x₂）＜f（x₁）、f（x）在區間[-3，3]上單調遞減，
∴x=-3時，f（x）有最大值，
f（-3）=-f（3）=-f（2+1）=-[f（2）+f（1）]=-[f（1）+f（1）+f（1）]=6．
x=3時，f（x）有最小值為f（3）=-6．

點評：本題考查抽象函數的性質，涉及函數奇偶性、單調性的判斷，以及函數最值，解此類題目，注意賦值法的運用．