Question

△ABC的AB邊在平面α內，C在平面α外，AC和BC分別與面α成30°和45°的角，且面ABC與α成60°的二面角，那么sin∠ACB的值為（ ）
A．1
B．
C．
D．1或

Answer 1

【答案】分析：從C向平面作垂線CD，連接AD，BD，作CE⊥AB，連接DE，根據三垂線定理，DE⊥AB，設CD=h，∠CBD=45°，BC=h，∠CAD=30°，AC=2CD=2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=，由勾股定理求出sinC=1；另一種是∠B是鈍角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=，由余弦定理，求出sinC．
解答：解：從C向平面作垂線CD，連接AD，BD，作CE⊥AB，連接DE，根據三垂線定理，DE⊥AB，設CD=h，∠CBD=45°，BC=h，∠CAD=30°，
AC=2CD=2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=，根據勾股定理，AE=，BE=，AB=AE+BE=h，
根據勾股定理逆定理，AB²=BC²+AC²，
（h）²=（h）²+（2h）²，
∠C=90°，sinC=1，
另一種是∠B是鈍角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=，
根據余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC×BC×cosC，
（h）²=（2h）²+（h）²-2×2h×hcosC，
cosC=，
sinC==，
故角ACB的正弦值是1或．
故選D．
點評：本題考查與二面角有關的立體幾何的綜合問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意勾股定理和余弦定理的靈活運用．