Question

在△ABC的AB邊在平面α內(nèi)，點C在平面α外，AC和BC與平面α所成的角分別為30°和45°且平面ABC與平面α成60⁰的銳二面角，則sin∠ACB=（　　）

• A．1
• B．

  2 3

  3

• C．

  3

• D．1或

  1

  3

Answer 1

分析：從C向平面作垂線CD，連接AD，BD，作CE⊥AB，連接DE，根據(jù)三垂線定理，DE⊥AB，設(shè)CD=h，∠CBD=45°，BC=

2

h，∠CAD=30°，AC=2CD=2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=

2 3 h

3

，由勾股定理求出sinC=1；另一種是∠B是鈍角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=

6 h

3

，由余弦定理，求出sinC．

解答：解：從C向平面作垂線CD，連接AD，BD，作CE⊥AB，連接DE，
根據(jù)三垂線定理，DE⊥AB，設(shè)CD=h，∠CBD=45°，BC=

2

h，∠CAD=30°，AC=2CD=2h，
∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=

2 3 h

3

，
根據(jù)勾股定理，AE=

2 6

3

h，BE=

6

3

h，AB=AE+BE=

6

h，
∵（

6

h）²=（

2

h）²+（2h）²，即AB²=BC²+AC²，
∴∠C=90°，sinC=1，
另一種是∠B是鈍角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=

6 h

3

，
根據(jù)余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC×BC×cosC，
（

6

3

h）²=（2h）²+（

2

h）²-2×2h×

2

hcosC，
cosC=

2 2

3

，
sinC=

1-cos2C

=

1

3

，
故角ACB的正弦值是1或

1

3

．
故選D．

點評：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何的綜合問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意勾股定理和余弦定理的靈活運用．