Question

已知

a

=(1，x)，

b

=(x2+x，-x)，m為非負實數，記f（x）=m(

a

•

b

)2-(m+1)

a

•

b

+1
（Ⅰ）求f（x）的表達式．
（Ⅱ）求使f（x）＜0成立的x的范圍

Answer 1

分析：（I）由f（x）=m(

a

•

b

)2-(m+1)

a

•

b

+1，結合已知中

a

=(1，x)，

b

=(x2+x，-x)，根據向量數量積運算法則，我們易求出f（x）的表達式．
（II）根據（I）的結論，我們易得到一個關于x的不等式，由于該不等式為類二次不等式（二次項系數含有參數），故可分類討論進行解答．

解答：解：（I）

a

•

b

=x2+x-x2=x
f（x）=mx²-（m+1）x+1（3分）
（II）f(x)=m(

a

•

b

)2-(m+1)

a

•

b

+1＜0?mx2-(m+1)x+1＜0
當m=0時，x＞1（16分）
0＜m＜1時，1＜x＜

1

m

（9分）
m=1時，x不存在（12分）
m＞1時，

1

m

＜x＜1（15分）

點評：本題考查的知識點是平面向量坐標表示的應用，一元二次不等式的解法，其中根據平面向量數量積運算公式計算出函數f（x）的表達式是解答本題的關鍵．