Question

【題目】已知函數．

(1)求函數的單調區間；

(2)若函數的圖象在點處的切線的傾斜角為45°，對于任意的，函數在區間上總不是單調函數，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】【試題分析】(1)求出函數的定義域,對函數求導后,對分類討論函數的單調區間.(2)傾斜角為,斜率為,根據斜率為可求得的值.化簡的表達式,求出的導數,將函數在區間上不是單調函數的問題,轉化為函數導數在區間上有變號零點問題來求解.

【試題解析】

(1)函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝.

當a＞0時，f(x)的增區間為(0,1)，減區間為(1，＋∞)；

當a＜0時，f(x)的增區間為(1，＋∞)，減區間為(0,1)；

當a＝0時，f(x)不是單調函數．

(2)由(1)及題意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，

∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.

∴g(x)＝x3＋x2－2x，

∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.

∵g(x)在區間(t,3)上總不是單調函數，

即g′(x)＝0在區間(t,3)上有變號零點．由于g′(0)＝－2，

∴

當g′(t)＜0，即3t2＋(m＋4)t－2＜0對任意t∈[1,2]恒成立，

由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0，

即m＜－5且m＜－9，即m＜－9；

由g′(3)＞0，即m＞－.

所以－＜m＜－9.

即實數m的取值范圍是.