Question

【題目】已知函數.

（1）求f(x)的最大值；

（2）設函數，若對任意實數，當時，函數的最大值為，求a的取值范圍；

（3）若數列的各項均為正數，，.求證：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3）證明見解析

【解析】

（1）首先求函數的導數，并判斷函數在定義域內的單調性，求得函數的最大值；

（2），先求函數的導數，當時，函數的最大值是，不滿足條件，當時，令有，比較極值點大小，討論單調性，求的取值范圍；

（3），由（1）知：，即有不等式，由已知條件知，則，根據不等式的傳遞性得到證明.

（1）的定義域為，

當時，單調遞增；

當時，單調遞減，

所以

（2）由題意

①當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，此時，不存在實數，使得當時，函數的最大值為.

②當時，令有，

(i)當時，函數在上單調遞增，顯然符合題意.

(ii)當，即時，函數再和上單調遞增，在上單調遞減，在處取得極大值，且，

要使對任意實數，當時，函數的最大值為，只需，解得又所以此時實數的取值范圍是.

(iii)當，即時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減，要對任意實數,當時，函數的最大值為，需代入化簡得，①

令，

因為恒成立，

故恒有，所以時，①式恒成立，

綜上，實數的取值范圍是.

（3）由題意，正項數列滿足：

由（1）知：，即有不等式

由已知條件知

故

從而當時，

所以有對也成立，

所以有