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已知O為坐標原點,點E、F的坐標分別為(,0)、(,0),點A、N滿足,過點N且垂直于AF的直線交線段AE于點M,設點M的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程;
(2)若軌跡C上存在兩點P和Q關于直線l:y=k(x+1)(k≠0)對稱,求k的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,設直線l與軌跡C交于不同的兩點R、S,對點B(1,0)和向量a=(,3k),求取最大值時直線l的方程.
【答案】分析:(Ⅰ)由,可知N為AF中點.則MN垂直平分AF.從而有=.即可得+=+==.根據橢圓的定義可知,點M的軌跡C是以正E、F為焦點的橢圓,可求橢圓方程(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點T(x0,y0).由,兩式相減可及y0=k(x0+1)可求.由中點T(x0,y0)在橢圓內部可求k的范圍(3)將y=k(x+1)(k≠0)代入橢圓中,整理得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-3=0.設R(x3,y3),S(x4,y4).則x3+x4=,x3x4=.y3y4=k2(x3+1)(x4+1)=k2(x3+x4+x3x4+1)=,代入已知向量的數量積可求k,進而可求直線方程.
解答:解:(Ⅰ)∵
∴N為AF中點.
∴MN垂直平分AF.

+=+==
∴點M的軌跡C是以正E、F為焦點的橢圓.…(2分)
∴長半軸,半焦距
∴b2=a2-c2=1.
∴點M的軌跡方程為.…(2分)
(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點T(x,y).
兩式相減可得,


又y=k(x+1)
.…(2分)
∵中點T(x,y)在橢圓內部,

∴k∈(-1,0)∪(0,1).
(3)將y=k(x+1)(k≠0)代入橢圓中,整理得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-3=0.
設R(x3,y3),S(x4,y4).
則x3+x4=,x3x4=
∴y3y4=k2(x3+1)(x4+1)=k2(x3+x4+x3x4+1)=…(2分)

=x3x4-(x3+x4)+1+y3y4-3-9k2
==
當且僅當,即(0,1)時等號成立.
此時,直線l的方程為y=(x+1).…(2分)
點評:本題主要考查了利用向量的基本關系轉化線段之間的關系,利用橢圓的定義求解橢圓的方程,及直線與橢圓的相交關系的點差法的應用,直線與曲線相交關系中方程方程的根與系數關系的應用,屬于綜合性試題
練習冊系列答案
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已知O為坐標原點,點A(x,y)與點B關于x軸對稱,
j
=(0,1)
,則滿足不等式
OA
2
+
j
AB
≤0
的點A的集合用陰影表示(  )
A、精英家教網
B、精英家教網
C、精英家教網
D、精英家教網

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已知O為坐標原點,點A(2,1),點P在區域
y≤x
x+y≥2
y>3x-6
內運動,則
OA
OP
的取值范圍為
 

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已知O為坐標原點,點A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα),且0<α<π.
(Ⅰ)若
AC
BC
=
3
5
,求tanα的值;
(Ⅱ)若|
OA
+
OC
|=
7
,求
OB
OC
的夾角.

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(2012•天河區三模)已知O為坐標原點,點M坐標為(-2,1),在平面區域
x≥0
x+y≤2
y≥0
上取一點N,則使|MN|為最小值時點N的坐標是(  )

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已知O為坐標原點,點P(x,y),其中x,y滿足
x+2y-5≤0
x+2y-3≥0
x≥1
y≥0
,則直線OP的斜率的最大值為
2
2

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