【題目】橢圓
：
的左、右焦點分別是
，
，離心率為
，左、右頂點分別為
，
.過且垂直于
軸的直線被橢圓截得的線段長為1.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）經過點
的直線與橢圓相交于不同的兩點
、
（不與點、重合），直線
與直線
相交于點
，求證：、、三點共線.
【答案】（1）
；（2）見解析
【解析】
（1）根據已知可得
，結合離心率和
關系，即可求出橢圓
的標準方程；
（2）
斜率不為零，設的方程為
，與橢圓方程聯立，消去
，得到
縱坐標關系，求出
方程，令
求出
坐標，要證
、
、三點共線，只需證
，將
分子用縱坐標表示，即可證明結論.
（1）由于
，將
代入橢圓方程
，
得
，由題意知，即
.
又
，所以
，
.
所以橢圓的方程為.
（2）解法一：
依題意直線斜率不為0，設的方程為，
聯立方程
，消去得
，
由題意，得
恒成立，設
，
，
所以
，
直線
的方程為
.令，得
.
又因為
，，
則直線
，
的斜率分別為
，
，
所以
.
上式中的分子
，
.所以，，三點共線.
解法二：
當直線的斜率
不存在時，由題意，得的方程為
，
代入橢圓的方程，得
，
，
直線的方程為
.
則
，
，
，
所以
，即，，三點共線.
當直線的斜率存在時，
設的方程為
，，，
聯立方程
消去
，得
.
由題意，得恒成立，故
，
.
直線的方程為.令，得.
又因為，，
則直線，的斜率分別為，，
所以.
上式中的分子
所以.
所以，，三點共線.
備戰中考寒假系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
，
為參數），以坐標原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的坐標方程為
，若直線與曲線相切.
（1）求曲線的極坐標方程；
（2）在曲線上取兩點
、
于原點構成
，且滿足
，求面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，圓
的參數方程為
（
為參數），在以原點
為極點，
軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線
的極坐標方程為
.
（1）求圓的普通方程和直線的直角坐標方程；
（2）設直線與軸，
軸分別交于
，
兩點，點
是圓上任一點，求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
兩地相距
，某船從
地逆水到
地，水速為
，船在靜水中的速度為
．若船每小時的燃料費與其在靜水中速度的平方成正比，當
，每小時的燃料費為
元，為了使全程燃料費最省，船的實際速度應為多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】小劉同學大學畢業后自主擇業，回到農村老家發展蜜桔收購，然后賣出去，幫助村民致富.小劉打算利用“互聯網+”的模式進行銷售.為了更好地銷售，假設該村每顆蜜柚樹結果50個，現隨機選了兩棵樹的蜜柚摘下來進行測重，其質量分布在區間內（單位：千克）的個數：
，10；
，10；
，15；
，40；
，20；
，5.
（1）作出其頻率分布直方圖并求其眾數；
（2）以各組數據的中間數值代表這組數據的平均水平，以頻率代表概率，已知該村蜜袖樹上大約還有100顆樹的蜜柚待出售，小劉提出兩種收購方案：
A.所有蜜柚均以16元/千克收購；
B.低于2.25千克的蜜柚以22元/個收購，高于或等于2.25千克的以30元/個收購.請你通過計算為該村選擇收益最好的方案.
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