Question

（本小題滿分12分）如圖，已知平面平行于三棱錐的底面，等邊三角形所在平面與面垂直，且，設。
（Ⅰ）證明：為異面直線與的公垂線；
（Ⅱ）求點與平面的距離；
（Ⅲ）求二面角的大小。

Answer 1

(Ⅰ)略   (Ⅱ)   （Ⅲ）

法一：


（Ⅰ）證明：∵平面∥平面
∴∥∵∴
又∵平面平面，平面平面
∴平面∴
又∵
∴為與的公垂線。
（Ⅱ）過作于，
∵為正三角形，
∴為中點，
∵平面
∴
又∵
∴平面
∴線段的長即為到平面的距離
在等邊三角形中，
∴點到平面的距離為。
（Ⅲ）過作于，連結
由三垂線定理知
∴是二面角的平面角
在中，，～，
∴，∴
所以，二面角的大小為。
法二：取中點，連結，易知平面，
過作直線∥交于
取為空間直角坐標系的原點，、、所在直線分別為如圖建立空間直角坐標系，則

（Ⅰ）
∴
∴，∴，
又∵∥，由已知，∥
∴，
即為與的公垂線。
（Ⅱ）設是平面的一個法向量，又，
則，即，令，則
∴設所求距離為，
∴點到平面的距離為。
（Ⅲ）設平面的一個法向量為，又
則則令，則
即，設二面角為，

又二面角為銳角
二面角的大小為。