Question

（2006•黃浦區二模）已知雙曲線x2-

y2

2

=1的焦點為F₁，F₂，點M在雙曲線上，且

MF1

•

MF2

=0，則點M到x軸的距離為

2 3

3

．

Answer 1

分析：根據雙曲線的方程算出焦點F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0）．根據

MF1

•

MF2

=0，在Rt△MF₁F₂中算出|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²=12，利用雙曲線的定義得||MF₁|-|MF₂||=2，聯解算出|MF₁|•|MF₂|=4，從而得Rt△MF₁F₂的面積S=2，進而可求出點M到x軸的距離．

解答：解：雙曲線x2-

y2

2

=1中，a=1，b=

2

可得c=

a2+b2

=

3

，得焦點F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0）
∵

MF1

•

MF2

=0，∴

MF1

⊥

MF2

，
可得Rt△MF₁F₂中|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²=12
又∵||MF₁|-|MF₂||=2，得（|MF₁|-|MF₂|）²=4，∴2|MF₁|•|MF₂|=8，得|MF₁|•|MF₂|=4
因此Rt△MF₁F₂的面積S=

1

2

|MF₁|•|MF₂|=2
設點M到x軸的距離為d，則

1

2

|F₁F₂|•d=2，即

1

2

×2

3

×d=2，解之得d=

2 3

3

故答案為：

2 3

3

點評：本題給出雙曲線上對兩個焦點張角等于直角的點P，求點P到x軸的距離．著重考查了向量的數量積、三角形的面積公式和雙曲線的定義與標準方程等知識，屬于中檔題．