Question

若（ax+1）²ⁿ和（x+a）²ⁿ⁺¹的展開式中含xⁿ項的系數相等（n∈N^*，a≠0），則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求出兩個二項展開式的含xⁿ項的系數，列出方程求出a，再求函數的值域．

解答：解：（ax+1）²ⁿ的通項為T_r+1=C_2n^r（ax）^r
令r=n得展開式中含xⁿ項的系數aⁿC_2nⁿ
（x+a）²ⁿ⁺¹的通項為T_r+1=C_2n+1^rx^2n+1-ra^r
令2n+1-r=n得r=n+1
∴（x+a）²ⁿ⁺¹展開式中含xⁿ項的系數為aⁿ⁺¹C_2n+1ⁿ⁺¹
∵展開式中含xⁿ項的系數相等
∴aⁿC_2nⁿ=aⁿ⁺¹C_2n+1ⁿ⁺¹
∴

1

a

=

2n+1

n+1

=2-

1

n+1

1

a

∈[

3

2

，2)
a∈(

1

2

，

2

3

]
故答案為a∈(

1

2

，

2

3

]

點評：白本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具，考查函數值域的求法．