Question

若正數a，b滿足2a+b=1，則4a2+b2-

1

ab

的最大值為

-

15

2

．

Answer 1

分析：利用基本不等式求出ab的取值范圍，再利用完全平方式和2a+b=1，將4a2+b2-

1

ab

的最大值轉化為1-4ab-

1

ab

的最大值，利用換元法，令t=ab，再令y=4a2+b2-

1

ab

，則將問題轉化為求y=-4t-

1

t

+1的最大值，利用導數求出函數的單調性，從而確定當t=

1

8

時，y取得最大值，即4a2+b2-

1

ab

的最大值．

解答：解：∵2a+b=1，且a，b均為正實數，
∴1=2a+b≥2

2ab

，
∴0＜ab≤

1

8

，
當且僅當2a=b，即a=

1

4

，b=

1

2

時取等號，
∵4a2+b2-

1

ab

=（2a+b）²-4ab-

1

ab

，且2a+b=1，
∴4a2+b2-

1

ab

=1-4ab-

1

ab

，
令t=ab，則0＜t≤

1

8

，
令y=4a2+b2-

1

ab

，
則y=-4t-

1

t

+1，
y′=-4+

1

t2

=

-4t2+1

t2

，
∵當-

1

2

＜t＜

1

2

時，y′＞0，
∴y=-4t-

1

t

+1在（-

1

2

，

1

2

）上為單調遞增函數，
∴y=-4t-

1

t

+1在（0，

1

8

]上為單調遞增函數，
∴當t=

1

8

時，y取得最大值為-4×

1

8

-8+1=-

15

2

，
∴4a2+b2-

1

ab

的最大值為-

15

2

．
故答案為：-

15

2

．

點評：本題考查了基本不等式在最值問題中的應用，在應用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的判斷．本題同時考查了運用導數判斷函數的單調性，注意導數的正負對應著函數的增減，利用函數的單調性研究函數的最值問題．屬于中檔題．