Question

7．已知直線y=-2x+1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點，且線段AB的中點在直線x-4y=0上，則此橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 將直線y=-2x+1與直線x-4y=0聯立，求得中點坐標，由A，B在橢圓上，兩式相減可知$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$×$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}}$，則$\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}}$=2，求得a²=2b²，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+1}\\{x-4y=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{9}}\\{y=\frac{1}{9}}\end{array}\right.$，
則線段AB的中點（$\frac{4}{9}$，$\frac{1}{9}$），
則x₁+x₂=$\frac{8}{9}$，y₁+y₂=$\frac{2}{9}$，
由A，B在橢圓上，
$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
兩式相減，得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$×$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}}$=2，即a²=2b²，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選D．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線的斜率公式，“點差法”的應用，考查計算能力，屬于中檔題．