Question

【題目】如圖，四邊形是菱形，四邊形是矩形，平面平面，，，，為的中點，為線段上的中點.

（1）求證：；

（2）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）連接,由題意可得為等邊三角形,根據“三線合一”可知,由菱形對邊平行,可得；再利用平面平面且四邊形是矩形,可得,即得平面,進而得證；

（2）利用（1）結論得到以為坐標原點,、、所在的直線分別為軸、軸、軸的空間直角坐標系,利用向量法求二面角的余弦值,進而求得該角大小

（1）證明：連接.

在菱形中,,，

∴為等邊三角形.

又∵為的中點,∴.

又∵,∴.

∵四邊形為矩形,∴.

又∵平面平面,平面平面,平面,

∴平面.

∵平面,∴.

又∵,,

∴平面,

∵平面，

∴.

（2）由（1）知平面,平面,,

∴,,兩兩垂直.

以為坐標原點,,,所在的直線分別為軸、軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,

則,,,,,

∴,,,

設平面的法向量為,

則,即,

令,則.

由圖知,平面的一個法向量為.

則.

∵二面角為銳角,∴其余弦值為,大小為.