Question

函數y=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）內取到一個最大值和一個最小值，且當x=π時，y有最大值3，當x=6π時，y有最小值-3．
（1）求此函數解析式；
（2）寫出該函數的單調遞增區間；
（3）是否存在實數m，滿足不等式Asin（ω

-m2+2m+3

+φ）＞Asin（ω

-m2+4

+φ）？若存在，求出m值（或范圍），若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意，函數的最值可以確定A，根據在x∈（0，7π）內取到一個最大值和一個最小值，且當x=π時，y有最大值3，當x=6π時，y有最小值-3，可以確定函數的周期，從而求出ω的值和φ的值，從而求得函數的解析式；
（2）令 2kπ-

π

2

≤

1

5

x+

3π

10

≤2kπ+

π

2

，解此不等式，即可求得函數的單調遞增區間；
（3）根據（1）所求得的ω和φ的值，分析ω

-m2+2m+3

+φ和ω

-m2+4

+φ的范圍，確定函數在該區間上的單調性，即可求得結果．

解答：解：（1）∵當x=π時，y有最大值3，當x=6π時，y有最小值-3．
∴A=

1

2

[3-（-3）]=3，

T

2

=5π，
∴T=10π=

2π

ω

，
∴ω=

2π

10π

=

1

5

，
∵當x=π時，y有最大值3，
∴

1

5

π+?=

π

2

，
∴?=

3π

10

，
∴y=3sin（

1

5

x+

3π

10

），
（2）令 2kπ-

π

2

≤

1

5

x+

3π

10

≤2kπ+

π

2

得10kπ-4π≤x≤10kπ+π，k∈Z
∴函數的單調遞增區間為：{x|10kπ-4π≤x≤10kπ+π   k∈Z}；
（3）∵ω=

1

5

，?=

3π

10

，
∴ω

-m2+2m+3

+?=

1

5

-(m-1)2+4

+

3π

10

∈（0，

π

2

），
ω

-m2+4

+?=

1

5

-m2+4

+

3π

10

∈（0，

π

2

），
而y=sint在（0，

π

2

）上是增函數
∴

1

5

-m2+2m+3

+

3π

10

＞

1

5

-m2+4

+

3π

10

，
∴

-m2+2m+3

＞

-m2+4

∴

-m2+2m+3≥0 -m2+4≥0 -m2+2m+3＞-m2+4

，
∴

-1≤m≤3 -2≤m≤2 m＞ 1 2

解得：

1

2

＜m≤2．
∴m的取值范圍是

1

2

＜m≤2．

點評：本題考查根據y=Asin（ωx+φ）的圖象求函數的解析式以及求函數的單調區間，問題（3）的設置，增加了題目的難度和新意，易錯點在于對ω

-m2+2m+3

+φ∈（0，

π

2

），ω

-m2+4

+φ∈（0，

π

2

）的分析與應用，考查靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，體現了轉化的數學思想方法，屬于難題．