Question

求最小值：
（1）y=x+

4

x

（x＞0）；（2）y=x+

4

x

（x≥5）；
（3）y=x+

4

x

（x≥a，a＞0）；
（4）y=9x+

4

x-1

（x＞1）；
（5）y=sinx+

4

sinx

（0＜x＜π）；
（6）y=

x2+25

x2+9

；
（7）y=

4x2+16x+17

x+2

（x＞-2）．

Answer 1

考點：基本不等式,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：不等式的解法及應用

分析：利用基本不等式的性質或利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可得出，使用基本不等式的性質時注意“一正二定三相等”的法則．

解答： 解：（1）∵x＞0，∴y=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，當且僅當x=2時取等號，因此y的最小值為4；
（2）∵x≥5，∴f′（x）=1-

4

x2

=

x2-5

4

＞0，∴函數(shù)y=x+

4

x

在x≥5時單調遞增，∴當x=5時，函數(shù)f（x）取得最小值

29

5

；
（3）∵f′（x）=1-

4

x2

=

x2-5

4

，∴當0＜a＜2，當x=a時，函數(shù)y=x+

4

x

取得最小值a+

4

a

；
當a≥2時，利用單調性可知：當x=a時，函數(shù)y=x+

4

x

取得最小值a+

4

a

；
（4）y=9x+

4

x-1

=9（x-1）+

4

x-1

+9≥2

9(x-1)• 4 x-1

+9=21，當且僅當x=

5

3

時取等號，因此最小值為21；
（5）∵0＜x＜π，∴0＜sinx≤1，利用f（t）=t+

4

t

在t∈（0，1]時單調遞減，∴當sinx=1（即x=

π

2

）時，函數(shù)y取得最小值5；
（6）y=

x2+25

x2+9

=

x2+9

+

16

x2+9

，當且僅當x²=7時函數(shù)y取得最小值8；
（7）∵x＞-2，∴y=

4x2+16x+17

x+2

=

4(x+2)2+1

x+2

=4（x+2）+

1

x+2

≥2

4(x+2)• 1 x+2

=4，當且僅當x=-

3

2

時取等號，∴函數(shù)y的最小值為4．

點評：本題考查了基本不等式的性質或利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，使用基本不等式的性質時注意“一正二定三相等”的法則，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．