Question

若不等式m+

-x2-2x

≤x+1對x∈[-2，0]恒成立，則實數m的取值范圍是

m≤-

2

．

Answer 1

分析：不等式變形為

-x2-2x

≤x+1-m．兩邊邊具有明顯的幾何意義：半圓和直線．令f（x）=

-x2-2x

，g（x）=x+1-m．則在同一坐標系內f（x）圖象應在g（x）圖象下方．利用直線與圓的位置關系求解．

解答：解：不等式即為

-x2-2x

≤x+1-m．
令f（x）=

-x2-2x

=

-(x+1)2+1

，g（x）=x+1-m．
則在同一坐標系內f（x）圖象在g（x）圖象下方．
如圖所示：，f（x）圖象是以（-1，0）為圓心，以1為半徑的半圓（x軸上方部分），g（x）圖象是一組隨m變化的平行直線．
當直線和半圓相切時，由d=r得，

|-m|

2

=1，解得m=-

2

，當直線向上平移時，也滿足條件．
所以實數m的取值范圍是m≤-

2

．
故答案為：m≤-

2

．

點評：本題是不等式恒成立問題，一般轉化為函數問題，這里采用了數形結合的思想方法．