Question

（2011•浦東新區(qū)三模）設(shè)x₁、x₂是方程x²-ax-2=0的兩個實根，若不等式|m-3|＞|x₁-x₂|對任意實數(shù)a∈[-1，1]恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為

（-∞，0）∪（6，+∞）

．

Answer 1

分析：要使|m-3|＞|x₁-x₂|對任意實數(shù)a∈[-1，1]恒成立，只須|m-3|＞|x₁-x₂|_max，利用二次方程的韋達(dá)定理求出|x₁-x₂|，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，從而求出實數(shù)m的范圍．

解答：解：由題設(shè)x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

當(dāng)a∈[-1，1]時，

a2+8

的最大值為3．
要使|m-3|＞|x₁-x₂|對任意實數(shù)a∈[-1，1]恒成立，只須|m-3|＞3，
即m＜0或m＞6．
故答案為（-∞，0）∪（6，+∞）

點評：本題的考點是函數(shù)恒成立問題，主要考查韋達(dá)定理得運用，考查函數(shù)的最值，關(guān)鍵是利用最值法求解恒成立問題．