Question

在數列{a_n}中，a₁=0，且對任意k∈N^*．a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差數列，其公差為d_k．
（Ⅰ）若d_k=2k，證明a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比數列（k∈N^*）
（Ⅱ）若對任意k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比數列，其公比為q_k．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明：由題設，可得a_2k+1=2k（k+1），從而a_2k=a_2k+1-2k=2k²，a_2k+2=2（k+1）²．于是，由此可知當d_k=2k時，對任意k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比數列．
（Ⅱ）由題意可知，
因此，
再分情況討論求解．
解答：（Ⅰ）證明：由題設，可得a_2k+1-a_2k-1=4k，k∈N^*．
所以a_2k+1-a₁=（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）++（a₃-a₁）
=4k+4（k-1）++4×1
=2k（k+1）
由a₁=0，得a_2k+1=2k（k+1），從而a_2k=a_2k+1-2k=2k²，a_2k+2=2（k+1）²．
于是．
所以d_k=2k時，對任意k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比數列．
（Ⅱ）證明：a₁=0，a₂=2，可得a₃=4，從而，=1．由（Ⅰ）有
所以
因此，
以下分兩種情況進行討論：
（1）當n為偶數時，設n=2m（m∈N^*（2））
若m=1，則．
若m≥2，則+
=
所以
（2）當n為奇數時，設n=2m+1（m∈N^*）
=
所以，
從而
綜合（1）（2）可知，對任意n≥2，n∈N^*，有
點評：本題主要考查等差數列的定義及通項公式，前n項和公式、等比數列的定義、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法．