Question

設a,b為正實數.現有下列命題:

①若a²-b²=1,則a-b<1;

②若-=1,則a-b<1;

③若|-|=1,則|a-b|<1;

④若|a³-b³|=1,則|a-b|<1.

其中的真命題有　　　　.(寫出所有真命題的編號)

 

Answer 1

【答案】

①④

【解析】①中,若a,b都小于1,則a-b<1;

若a,b中至少有一個大于等于1,則a+b>1,

由a²-b²=(a+b)(a-b)=1,

所以a-b<1,故①正確.

②中-==1,只需a-b=ab即可,

取a=2,b=滿足上式但a-b=>1,故②錯;

③中,|a-b|=|(-)(+)|=|+|>|-|=1,故③錯;

④中,對于|a³-b³|=|(a-b)(a²+ab+b²)|=1,

若a,b中至少有一個大于等于1,

則a²+ab+b²>1,則|a-b|<1,

若a,b都小于1,則|a-b|<1,所以④正確.

綜上,真命題有①④.