Question

數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=（n²+n-λ）a_n（n=1，2，…），λ是常數．
（Ⅰ）當a₂=-1時，求λ及a₃的值；
（Ⅱ）數列{a_n}是否可能為等差數列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；
（Ⅲ）求λ的取值范圍，使得存在正整數m，當n＞m時總有a_n＜0．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設條件知當a₂=-1時，得-1=2-λ，故λ=3．從而求出a₃．
（Ⅱ）由題意知若存在λ，使{a_n}為等差數列，則有a₂-a₁=1-λ=-2，a₄-a₃=（11-λ）（6-λ）（2-λ）=-24．這與{a_n}為等差數列矛盾．所以，對任意λ，{a_n}都不可能是等差數列．
（Ⅲ）記b_n=n²+n-λ（n=1，2，），n=2k（k=1，2，），則λ滿足．由此可求出故λ的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由于a_n+1=（n²+n-λ）a_n（n=1，2，），且a₁=1．
所以當a₂=-1時，得-1=2-λ，故λ=3．
從而a₃=（2²+2-3）×（-1）=-3．
（Ⅱ）數列{a_n}不可能為等差數列，證明如下：由a₁=1，a_n+1=（n²+n-λ）a_n
得a₂=2-λ，a₃=（6-λ）（2-λ），a₄=（12-λ）（6-λ）（2-λ）．
若存在λ，使{a_n}為等差數列，則a₃-a₂=a₂-a₁，即（5-λ）（2-λ）=1-λ，
解得λ=3．于是a₂-a₁=1-λ=-2，a₄-a₃=（11-λ）（6-λ）（2-λ）=-24．
這與{a_n}為等差數列矛盾．所以，對任意λ，{a_n}都不可能是等差數列．
（Ⅲ）記b_n=n²+n-λ（n=1，2，），根據題意可知，b₁＜0且b_n≠0，即λ＞2
且λ≠n²+n（n∈N^*），這時總存在n∈N^*，滿足：當n≥n時，b_n＞0；
當n≤n-1時，b_n＜0．所以由a_n+1=b_na_n及a₁=1＞0可知，若n為偶數，
則，從而當n＞n時，a_n＜0；若n為奇數，則，
從而當n＞n時a_n＞0．因此“存在m∈N^*，當n＞m時總有a_n＜0”
的充分必要條件是：n為偶數，
記n=2k（k=1，2，），則λ滿足．
故λ的取值范圍是4k²-2k＜λ＜4k²+2k（k∈N^*）．
點評：本題考查數列知識的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．