Question

已知點的坐標分別是、，直線相交于點，且它們的斜率之積為．

(1)求點軌跡的方程；

(2)若過點的直線與(1)中的軌跡交于不同的兩點，試求面積的取值范圍（為坐標原點）．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）直接由斜率公式可求解；（2）直線方程與圓錐曲線方程聯立方程組，利用弦長公式求出弦EF的長度，再由原點到直線EF的距離求出三角形高，求出三角形OEF面積的表達式，再利用基本不等式求最值.

試題解析：（1）設點的坐標為，∵，∴

整理，得，這就是動點的軌跡方程．

（2）由題意知直線的斜率存在，設的方程為  ①

將①代入得：，由，解得

設，，則 ②

.

令,所以.

所以

所以.

考點：1、斜率公式；2、直線方程；3、橢圓方程及其性質；4、弦長公式；5、基本不等式.