Question

已知函數f（x）=ax⁴lnx+bx⁴﹣c（x＞0）在x=1處取得極值﹣3﹣c，其中a，b，c為常數．
（1）試確定a，b的值；
（2）討論函數f（x）的單調區間；
（3）若對任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

（1）a="12" b=﹣3 （2）f（x）的單調遞減區間為（0，1），單調遞增區間為（1，+∞）；
（3）（﹣∞，﹣1]∪

試題分析： （1）由極值的定義和已知條件可得b﹣c=﹣3﹣c，，即b=-3；對已知函數求導，再由，列出管a，b 的等式，即可得到a的值.（2）由（1）可得到f（x）的表達式，然后對其求導，由或，可得到函數的單調增區間或減區間.（3）求出f（x）的最小值﹣3﹣c，已知條件式f（x）≥﹣2c²恒成立可轉化為﹣3﹣c≥﹣2c²_，解得c即可.
試題解析：解：（1）由題意知f（1）=﹣3﹣c，因此b﹣c=﹣3﹣c，從而b=﹣3。2分
又對f（x）求導得=x³（4alnx+a+4b），
由題意f'（1）=0，因此a+4b=0，得a=12                      4分
（2）由（1）知f'（x）=48x³lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1
當0＜x＜1時，f'（x）＜0， f（x）單調遞減；當x＞1時，f'（x）＞0， f（x）單調遞增，
故 f（x）的單調遞減區間為（0，1），單調遞增區間為（1，+∞）  8分
（3）由（2）知，f（x）在x=1處取得極小值f（1）=﹣3﹣c，此極小值也是最小值，
要使f（x）≥﹣2c²（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≥﹣2c²      10分
即2c²﹣c﹣3≥0，從而（2c﹣3）（c+1）≥0，解得或c≤﹣1
所以c的取值范圍為（﹣∞，﹣1]∪ 12分