Question

已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，求
（1）直線AD與平面BCD所成角的大小；
（2）直線AD與直線BC所成角的大小；
（3）二面角A-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）作AO⊥BC于點(diǎn)O，連DO，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標(biāo)系，通過(guò)求

AD

與平面BCD的夾角去求．
（2）通過(guò)

AD

與

BC

的夾角去求．
（3）求出平面CBD的一個(gè)法向量為

n1

以及平面ABD的一個(gè)法向量為

n2

，求出兩法向量的余弦值即可得到平面CDF與平面ABCD所成角的余弦值．

解答：解：（1）設(shè)AB=1，作AO⊥BC于點(diǎn)O，連DO，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標(biāo)系，得下列坐標(biāo)：
O（0，0，0）D（

3

2

，0，0）B（0，

1

2

，0）C（0，

3

2

，0）A（0，0，

3

2

）

AD

=（

3

2

，0，-

3

2

），顯然

n1

=（0，0，1）為平面BCD的一個(gè)法向量
|cos＜

AD

，

n1

＞|=|

- 3 2

3 2 ×1

|=|-

2

2

|=

2

2

∴，直線AD與平面BCD所成角的大小90°-45°=45°
（2）

AD

•

BC

=（

3

2

，0，-

3

2

）•（0，1，0）=0
所以AD與BC所成角等于90°．
（3）設(shè)平面ABD的法向量為

n2

=（x，y，1）則
（x，y，1）•

AB

=（x，y，1）•(0，

1

2

， -

3

2

)=0
（x，y，1）•

AD

=（x，y，1）•(

3

2

，0，-

3

2

)=0
解得  x=1，y=

3

，
則

n2

=（1，

3

，1）
顯然（0，0，1）為平面BCD的法向量．
設(shè)二面角A-BD-C大小為θ，則|cosθ|=

|n1 • n2|

| n1| × |n2|

=

1

1× 5

=

5

5

又二面角A-BD-C為鈍二面角，因此，二面角的余弦為-

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角的計(jì)算，二面角求解，考查轉(zhuǎn)化的思想方法，計(jì)算能力．利用空間向量的知識(shí)，則使問(wèn)題論證變成了代數(shù)運(yùn)算，使人們解決問(wèn)題更加方便．