Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，BC=3SA=3AB=3AD．
（1）求CD和SB所成角大小；
（2）已知點G在BC邊上，①若G點與B點重合，求二面角S-DB-A的大小；
②若BG：GC=2：1，求二面角S-DG-A的大小．

Answer 1

分析：（1）設SA=AB=AD=1，則BC=3．以A為原點，AB、AD、AS分別為x軸，y軸、z軸建立空間直角坐標，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），S（0，0，1），C（1，3，0）．由向量法能求出CD和SB所成角的大小．
（2）設SA=AB=AD=1，則BC=3．①若G點與B點重合，△ABD是等腰直角三角形，取BD的中點E₁，連接SE₁，那么AE₁=

1

2

，由此能求出二面角S-DB-A的大小．②若BG：GC=2：1，則∠BGD=45°，作AE₂⊥DG，連接SE₂，則△ADE₂是以E₂為直角頂點的等腰直角三角形，AE₂=

1

2

，由此能求出二面角S-DG-A的大小．

解答：解：（1）設SA=AB=AD=1，則BC=3．
以A為原點，AB、AD、AS分別為x軸，y軸、z軸建立空間直角坐標，
則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），S（0，0，1），C（1，3，0）．
∵

SB

=(1，0，-1)，

DC

=(1，2，0)．
∴cos?

SB

，

DC

＞=

1

5 • 2

=

10

10

．
∴CD和SB所成角的大小為arccos

10

10

．
（2）設SA=AB=AD=1，則BC=3．
①若G點與B點重合，△ABD是等腰直角三角形，
取BD的中點E₁，連接SE₁，那么AE₁=

1

2

，
∵AB=AD，BD的中點是E₁，
∴AE₁⊥BD，
∵SA⊥底面ABCD，
∴SE₁⊥BD，
∴∠SE₁A是二面角S-DB-A的平面角．
在Rt△SAE₁中，tan∠SE₁A=

2

，
所以二面角S-DB-A的大小為arctan

2

．
②若BG：GC=2：1，則∠BGD=45°，
作AE₂⊥DG，連接SE₂，
∵SA⊥底面ABCD，
∴SE₂⊥DG，
∴∠SE₂A是二面角S-DG-A的平面角．
∵△ADE₂是以E₂為直角頂點的等腰直角三角形，
∴AE₂=

1

2

，
在Rt△SAE₂中，tan∠SE₂A=

2

，
所以二面角S-DG-A的大小為arctan

2

．

點評：本題考查異面直線所成角的大小的求法和計算二面角的大小，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．