Question

設F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，與直線y=b相切的⊙F₂交橢圓于點E，且點E是直線EF₁與⊙F₂的切點，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題設條件知EF₂=b，且EF₁⊥EF₂，由橢圓定義知EF₁+EF₂=2a．由勾股定理推導出4c²=（2a-b）²+b²．由此能求出橢圓的離心率．

解答： 解：設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，
與直線y=b相切的⊙F₂交橢圓于E，且E是直線EF₁與⊙F₂的切點，
∴EF₂=b，且EF₁⊥EF₂，
∵E在橢圓上，∴EF₁+EF₂=2a．
又∵F₁F₂=2c，∴F₁F₂²=EF₁²+EF₂²，
即4c²=（2a-b）²+b²．
將c²=a²-b²代入得b=

2

3

a．
e²=

c2

2

=

a2-b2

2

=1-（

b

a

）²=

5

9

．
∴橢圓的離心率e=

5

3

．
故答案為：

5

3

．

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時要熟練掌握橢圓的簡單性質．