Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，，.

（1）求證：平面與平面不垂直；

（2）若，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）作于點，假設平面平面，通過證明,由此推出矛盾，從而判斷出平面與平面不垂直.

（2）作于點，證得兩兩垂直，由此建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.

（1）證明如下：作于點，假設平面平面，

則平面，∴

在直角梯形中，，，∴

，∴ 平面，∴

∵ 平面底面，平面底面

∴ 平面，∴

在 中，不可能有兩個直角，所以假設不成立.

（2）作于點，∵，∴為中點，連接.

∵ 平面底面 ∴底面

在直角梯形中，，，∴

以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系

∵，，

∴，，，

，，，

設平面的法向量為

由，取

同理可得平面的法向量

∴.

由圖形可知，所求二面角為鈍角，∴二面角的余弦值.