Question

已知點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁x₂≠0）是拋物線y²=2px（p＞0）上的兩個動點，O是坐標原點，向量

OA

，

OB

滿足|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，設圓C的方程為x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0．
（1）證明線段AB是圓C的直徑；
（2）當圓C的圓心到直線x-2y=0的距離的最小值為

2 5

5

時，求p的值．

Answer 1

（1）∵向量

OA

，

OB

滿足|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，
∴(

OA

+

OB

) 2=(

OA

-

OB

) 2
即

OA

2+2

OA

•

OB

+

OB

2=

OA

2-2

OA

•

OB

+

OB

2
整理得

OA

•

OB

=0
∵點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂）
∴x₁x₂+y₁y₂=0①
設點M（x，y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，
則

MA

•

MB

=0
即（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0
展開上式并將 ①代入得x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0
故線段AB是圓C的直徑．
（Ⅱ）設圓C的圓心為C（x，y），
則x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂（p＞0），
∴x₁x₂=

y12y22

4p2

又∵x₁x₂+y₁y₂=0
∴x₁x₂=-y₁y₂
∴-y₁y₂=

y12y22

4p2

∴y₁y₂=-4p²
∴x=

x1+x2

2

=

1

4p

（y₁²+y₂²）
=

1

4p

（y₁²+y₂²+2y₁y₂）-

y1y2

2p

=

1

p

（y²+2p²）
∴圓心的軌跡方程為：y²=px-2p²
設圓心C到直線x-2y=0的距離為d，，則
d=

|x-2y|

5

=

| 1 p (y2+2p2)-2y|

5

=

|(y-p)2+p2|

5 p

當y=p時，d有最小值

p

5

，
由題設得?

p

5

=

2 5

5

∴p=2