Question

已知點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓L：

x2

18

+

y2

9

=1上不同的兩點，線段AB的中點為M(2，1)．
（1）求直線AB的方程；
（2）若線段AB的垂直平分線與橢圓L交于點C、D，試問四點A、B、C、D是否在同一個圓上，若是，求出該圓的方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：解一：（1）將點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓方程，兩式相減，再利用線段AB的中點為M(2，1)，可求直線AB的斜率

y1- y   2

x1- x   2

=-1．故可求直線AB的方程；
解二：當(dāng)直線AB的不存在時，AB的中點在x軸上，不符合題意．設(shè)直線AB的方程為y-1=k（x-2），與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得（1+2k²）x²-（8k²-4k）x+8（k²-k-2）=0，利用AB的中點為M（2，1），結(jié)合韋達定理，可求直線AB的方程．
（2）由

x2 18 + y2 9 =1 x+y-3=0

 消去y，得3x²-12x=0，求得A（0，3），B（4，-1），將線段AB的垂直平分線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得3x²-4x-16=0，從而可求線段CD的中點E的坐標(biāo)，進而可知四點A、B、C、D在同一個圓上，從而可求圓的方程．

解答：解一：（1）∵點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓L上不同的兩點，
∴

x12

18

+

y12

9

=1，

x22

18

+

y22

9

=1．
以上兩式相減得：

x12- x 2 2

18

+

y12- y 2 2

9

=0，
即x12-

x

2 2

+2(y12-

y

2 2

)=0，(x1-

x

2

)(x1+

x

2

)+2(y1-

y

2

)(y1+

y

2

)=0，
∵線段AB的中點為M(2，1)，
∴x1+

x

2

=4， y1+

y

2

=2．
∴4(x1-

x

2

)+4(y1-

y

2

)=0，
當(dāng)x₁=x₂，由上式知，y₁=y₂則A，B重合，與已知矛盾，因此x₁≠x₂，
∴

y1- y   2

x1- x   2

=-1．
∴直線AB的方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0．
由

x2 18 + y2 9 =1 x+y-3=0

 消去y，得3x²-12x=0，解得x=0或x=4．
∴所求直線AB的方程為x+y-3=0．
解二：當(dāng)直線AB的不存在時，AB的中點在x軸上，不符合題意．
故可設(shè)直線AB的方程為y-1=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y-1=k(x-2) x2 18 + y2 9 =1

 消去y，得（1+2k²）x²-（8k²-4k）x+8（k²-k-2）=0（*）
∴x1+x2=

8k2-4k

1+2k2

．
∵AB的中點為M（2，1），
∴x₁+x₂=4．
∴

8k2-4k

1+2k2

=4．
解得k=-1．
此時方程（*）為3x²-12x=0，其判別式△=144＞0．
∴所求直線AB的方程為x+y-3=0．
（2）由于直線AB的方程為x+y-3=0，則線段AB的垂直平分線CD的方程為y-1=x-2，即x-y-1=0．
由

x2 18 + y2 9 =1 x+y-3=0

 消去y，得3x²-12x=0，解得x=0或x=4．
∴A（0，3），B（4，-1）
由

x2 18 + y2 9 =1 x-y-1=0

消去y，得3x²-4x-16=0
設(shè)C（x1′，y1′），D（x2′，y2′），
∴x′1+x′2=

4

3

，x′1x′2=-

16

3

．
∴線段CD的中點E的橫坐標(biāo)為xE=

x′1+x′2

2

=

2

3

，縱坐標(biāo)yE=xE-1=-

1

3

．
∴E(

2

3

，-

1

3

)．
∴|CD|=

(1+1)[(x′1+x′2)2-4x′1x′2]

=

2[( 4 3 )2-4×(- 16 3 )]

=

4 26

3

．
∵|EA|=

( 2 3 )2+(- 1 3 -3)2

=

2 26

3

=

1

2

|CD|，
|EB|=

( 2 3 -4)2+(- 1 3 +3)2

=

2 26

3

=

1

2

|CD|，
∴四點A、B、C、D在同一個圓上，此圓的圓心為點E，半徑為

2 26

3

，
其方程為(x-

2

3

)2+(y+

1

3

)2=

104

9

．

點評：本題重點考查橢圓中弦的中點問題，考查四點共圓，解題時，利用設(shè)而不求法是關(guān)鍵，考查韋達定理的運用，綜合性強．