Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，過A點作面A₁BD的垂線，垂足為P．則下列命題：
①P是△A₁BD的重心；
②AP也垂直于面CB₁D₁；
③AP的延長線必通過點C₁；
④AP與面AA₁D₁D所成角為45°．
其中，正確的命題是（ ）

A．①②
B．①②③
C．②③④
D．①③④

Answer 1

【答案】分析：在正方體中，體對角線與過端點的三條棱的另三個端點確定的平面是垂直的，且垂足也是該三角形的重心，由此判斷即得
解答：解：如圖由正方體的性質(zhì)知面A₁BD與體對角線AC₁垂直，三角形A₁BD是一個正三角形，
故它們的交點也是三角形的中心，面A₁BD與面CB₁D₁是平行的關(guān)系，且它也是一個正三角形；
由此則可以判斷①P是△A₁BD的重心是正確的；
②AP也垂直于面CB₁D₁正確；
③AP的延長線必通過點C₁；正確；
④AP與面AA₁D₁D所成角為45°不正確，因為該線面角是∠C₁AD，其不是一個等腰直角三角形，
故選B．
點評：在幾何體中考查點線面之間的關(guān)系和角與距離是近今年高考的一個趨勢，因為此類題目比較靈活．