Question

（1）判斷函數f(x)=x2+

1

x

在（1，+∞）上的單調性，并用定義法加以證明；
（2）若函數f(x)=x2+

a

x

在區間（1，+∞）上的單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數單調性的定義進行證明．注意化簡f（x₂）-f（x₁）是一定要化到最簡．
（2）已知f（x）在區間（1，+∞）上單調遞增，即f′（x）≥0在區間（1，+∞）上恒成立，然后用分離參數求最值即可．

解答：解：（1）f（x）在（1，+∞）上的單調遞增                            …（2分）
x₁，x₂是區間（1，+∞）上的任意兩個值，且x₁＜x₂…（3分）
則x₂-x₁＞0，x₁+x₂＞2，x₁x₂＞1，

1

x1x2

＜1∴

1

x1x2

-(x1+x2)＜0…（5分）
f(x1)-f(x2)=

x

2 1

+

1

x1

-(

x

2 2

+

1

x2

)
=(x1+x2)(x1-x2)+

x2-x1

x1x2

=(x2-x1)[

1

x1x2

-(x1+x2)]＜0…（7分）
∴f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）在（1，+∞）上的單調遞增   …（8分）
（2）f/(x)=2x-

a

x2

≥0在區間（1，+∞）上恒成立，∴a≤2x³在區間（1，+∞）上恒成立，∴a≤2．…（16分）

點評：本題考查函數單調性的判斷和已知函數單調性求參數的范圍，此類問題一般用導數解決，綜合性較強．