Question

已知三次函數在和時取極值，且．（Ⅰ） 求函數的表達式；（Ⅱ）求函數的單調區間和極值；（Ⅲ）若函數在區間上的值域為，試求、應滿足的條件。

Answer 1

解：（Ⅰ），                             

由題意得：是的兩個根，

解得，．                         

再由可得．         -----------------2分

∴．        ------------------4分

（Ⅱ）  解：，

當時，；當時，；------------------5分
當時，；當時，；------------------6分
當時，．∴函數在區間上是增函數；        ------------------7分
在區間上是減函數；在區間上是增函數．
函數的極大值是，極小值是．           ------------------9分

（Ⅲ）    解：函數的圖象是由的圖象向右平移個單位，向上平移4個單位得到，

所以，函數在區間上的值域為

（）．             -------------10分

而，∴，

 即．                       

則函數在區間上的值域為．------------------12分

令得或．

由的單調性知，，即．  

綜上所述，、應滿足的條件是：，且------------------14分