Question

【題目】如圖，在直三棱柱中， ， ，點是的中點．

①求證： ．

②求點到平面的距離．

③求二面角的余弦值的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）由等腰三角形得，由平面得，故而可得平面，最后得結論；（2）點到平面的距離為．通過轉化，求點到平面的距離；（3）以為坐標原點， ， ， 為， ， 軸，建立空間直角坐標系，求出面和面的法向量，計算法向量的夾角，根據圖可判斷二面角為銳角，故可得角的大小.

試題解析：（1）∵在等腰中， 為斜邊中點，∴，又∵在直三棱柱中， 平面， 平面，∴ ，∵點， 、平面，∴平面， 平面，∴．

（2）設點到平面的距離為，在三棱錐中，∵，且平面，∴，易求得， ，∴，即點到平面的距離是

（3）如圖，

以為坐標原點， ， ， 為， ， 軸，建立空間直角坐標系， ， ， ， ， ， ， ， ．設平面的一個法向量， ， ，設平面的一個法向量， ， ，∴，由圖知，所求二面角為銳角，余弦值為．