Question

素材1：橢圓=1(a＞b＞0)的兩焦點為F₁、F₂;

素材2：若在橢圓上存在一點P，使·=0.

試根據上面素材構造一個問題，然后再解答.

Answer 1

構造問題：橢圓=1(a＞b＞0)的兩焦點為F₁、F₂，P是橢圓上一點且·=0,試求該橢圓的離心率e的取值范圍.

解析：如圖所示，設F₁(-c,0)、F₂(c,0)、P(x₀,y₀),則|PF₁|=a+ex₀,|PF₂|=a-ex₀,|F₁F₂|=2c.

∵·=0,∴⊥.

∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²,

即（a+ex₀）²+(a-ex₀)²=4c²e²x₀²=2c²-a².

據題意，P點在橢圓上，但不在x軸上,

∴0≤x₀²＜a².

∴0≤e²x₀²＜c².

于是0≤2c²-a²＜c²,即≤c²＜a²≤＜1,

∴e∈［,1.