Question

素材1：如圖，已知橢圓 =1(2≤m≤5),過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及其準線的交點從左到右的順序為A、B、C、D;

素材2：設f(m)=||AB|-|CD||.

試根據上述素材構建一個問題，然后再解答.

Answer 1

構建問題：如圖,已知橢圓=1(2≤m≤5),過其左焦點且斜率為1的直線與橢

圓及其準線的交點從左到右的順序為A、B、C、D.設f(m)=||AB|-|CD||，試求f(m)的解析式.

解析：(1)設橢圓的長半軸、短半軸及半焦距依次為a、b、c,則a²=m,b²=m-1,c²=a²-b²=1,∴橢圓的焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0）.故直線的方程為y=x+1.又橢圓的準線方程為x=±,即x=±m,∴A(-m,-m+1),D(m,m+1).考慮方程組消去y,得(m-1)x²+m(x+1)²=m(m-1).整理得(2m-1)x²+2mx+2m-m²=0,Δ=4m²-4(2m-1)(2m-m²)=8m(m-1)².

∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，x_B+x_C=.又∵A、B、C、D都在直線y=x+1上，

∴|AB|=|x_B-x_A|=(x_B-x_A).同理|CD|=（x_D-x_C）.

∴||AB|-|CD||=|x_B-x_A-x_D+x_C|=|(x_B+x_C)-(x_A+x_D)|.

又∵x_A=-m,x_D=m,

∴x_A+x_D=0.∴||AB|-|CD||=|x_B+x_C|·=||·=(2≤m≤5).

故f(m)= (m∈［2,5］).