Question

由直角△ABC勾上一點D作弦AB的垂線交弦于E，交股的延長線于F，交外接圓于G，求證：EG為EA和EB的比例中項，又為ED和EF的比例中項．

Answer 1

分析：要證明EG為EA和EB的比例中項，又為ED和EF的比例中項，即證EG²=EA•EB=ED•EF，分析積等式中的線段所在的位置，發現EG為直角△AGB的斜邊AB上的高，由射影定理，我們易得，EG²=EA•EB，再根據直角△AEF∽直角△DEB，根據相似三角形的性質，我們可以得到對應邊成比例，然后利用等量代換的思想，即可得到結論．

解答：證明：連接GA、GB，
則△AGB也是一個直角三角形，
因為EG為直角△AGB的斜邊AB上的高，
所以，EG為EA和EB的比例中項，
即EG²=EA•EB
∵∠AFE=∠ABC，
∴直角△AEF∽直角△DEB，

EA

EF

=

ED

EB

即EA•EB=ED•EF．
又∵EG²=EA•EB，
∴EG²=ED•EF（等量代換），
故EG也是ED和EF的比例中項．

點評：本題是考查同學們推理能力、邏輯思維能力的好資料，題目以證明題為主，特別是一些定理的證明和用多個定理證明一個問題的題目，我們注意熟練掌握：1．射影定理的內容及其證明； 2．圓周角與弦切角定理的內容及其證明；3．圓冪定理的內容及其證明；4．圓內接四邊形的性質與判定．