Question

已知關(guān)于x的不等式

ax2-2

x-1

＜ax的解集為A，且A⊆（-∞，1），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：把原不等式右邊移項(xiàng)到左邊，通分后，根據(jù)兩式ax-2與x-1相除商為負(fù)數(shù)，轉(zhuǎn)化為ax-2與x-1的乘積小于0，當(dāng)a=0時，把a(bǔ)=0代入化簡后的不等式中求出不等式的解集，發(fā)現(xiàn)滿足A⊆（-∞，1），故a不為0，
然后分四種情況考慮：當(dāng)a大于2時，判斷出

2

a

比1小，利用不等式取解集的方法可得出不等式的解集A，并判斷出A為（-∞，1）的子集；
當(dāng)a=2時，求出此時不等式的解集，確定出集合A，然后判斷A是否為（-∞，1）的子集；
當(dāng)a大于0小于2時，判斷出

2

a

比1大，利用不等式取解集的方法可得出不等式的解集A，并判斷出A為（-∞，1）的子集；
當(dāng)a小于0時，判斷出

2

a

比1小，利用不等式取解集的方法可得出不等式的解集A，并判斷出A為（-∞，1）的子集；
綜上，得到滿足題意的a的取值范圍．

解答：解：由

ax2-2

x-1

＜ax得：

ax2-2

x-1

-ax＜0，
即

ax-2

x-1

＜0，
∴（ax-2）（x-1）＜0，
當(dāng)a=0時，原不等式的解集A={x|x＞1}不是（-∞，1）的子集，故a≠0，
當(dāng)a≠0時，∵

2

a

-1=

2-a

a

，
分四種情況考慮：
當(dāng)a＞2時，

2-a

a

＜0，則

2

a

＜1，
此時，不等式的解集A={x|

2

a

＜x＜1}⊆(-∞，1)；
當(dāng)a=2時，（x-1）²＜0，故A=∅⊆（-∞，1）；
當(dāng)0＜a＜2時，

2-a

a

＞0，則

2

a

＞1，
此時不等式的解集A={x|1＜x＜

2

a

}不是（-∞，1）的子集；
當(dāng)a＜0時，

2

a

＜1，此時，不等式的解集A={x|x＜

2

a

或x＞1}不是（-∞，1）的子集，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：[2，+∞）．

點(diǎn)評：此題考查了其他不等式的解法，以及一元二次不等式的解法，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的數(shù)學(xué)思想，是高考中常考的題型．