Question

已知關于x的不等式

a(x+1)

x-2

＜2的解集為A，且5∉A，
（1）求實數a的取值范圍；
（2）求集合A．

Answer 1

分析：（1）由題意，關于x的不等式

a(x+1)

x-2

＜2的解集為A，且5∉A，將x=5代入，可得

a(5+1)

5-2

≥2，解此不等式求出實數a的取值范圍；
（2）由題意，先將不等式變為

(a-2)x+5

x-2

＜0，由于x的系數帶有字母，故可分情況討論不等式的解集．

解答：解：（1）由題意關于x的不等式

a(x+1)

x-2

＜2的解集為A，且5∉A
可得

a(5+1)

5-2

≥2解得a≥1
即實數a的取值范圍是a≥1
（2）

a(x+1)

x-2

＜2可變為

a(x+1)-2x+4

x-2

＜0，即

(a-2)x+a+4

x-2

＜0
由（1）知a≥1
當1≤a＜2時，不等式可變為

x+ a+4 a-2

x-2

＞0即

x- a+4 2-a

x-2

＞0，又

a+4

2-a

＞5，故不等式的解是x＞

a+4

2-a

，或x＜2
當a=2時，不等式可變為

a+4

x-2

＜0，解得x＜2
當a＞2時，不等式可變為

x+ a+4 a-2

x-2

＜0即

x- a+4 2-a

x-2

＜0，又

a+4

2-a

＜0，故不等式的解是x＜

a+4

2-a

，或x＞2，由于此時不滿足a+4∉A，故此種情況不成立
綜上，當1≤a＜2時不等式的解是x＞

a+4

2-a

，或x＜2；當a=2時，不等式解x＜2

點評：本題考查一元二次不等式的應用，解題的關鍵是理解一元二次不等式的解法，且能根據其解法規則靈活解不等式，本題第二小題是一個帶參數的不等式，此類不等式求解時一般要根據參數的取值范圍時行分類求解，做題時要注意靈活選用方法