Question

如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的各棱長都等于2，D在AC₁上，F(xiàn)為BB₁中點(diǎn)，且FD⊥AC₁．

(1)試求的值；

(2)求二面角F－AC₁－C的大小；

(3)求點(diǎn)C₁到平面AFC的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解(解法一)(1)連AF，F(xiàn)C1，因?yàn)槿�棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱且各棱長都等于2，又F為BB1中點(diǎn)，∴Rt△ABF≌Rt△C1B1F， 　　∴AF＝FC1．又在△AFC1中，F(xiàn)D⊥AC1， 　　所以D為AC1的中點(diǎn)，即．(4分) 　　(2)取AC的中點(diǎn)E，連接BE及DE， 　　則得DE與FB平行且相等，所以四邊形DEBF是平行四邊形，所以FD與BE平行． 　　因?yàn)槿�棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱， 　　所以△ABC是正三角形，∴BE⊥AC，∴FD⊥AC，又∵FD⊥AC1，∴FD⊥平面ACC1， 　　∴平面AFC1⊥平面ACC1　所以二面角F－AC1－C的大小為　　(9分) 　　(3)運(yùn)用等積法求解：AC＝2，AF＝CF＝，可求， 　　， 　　，得　　(12分) 　　(解法二)取BC的中點(diǎn)O，建立如圖所示的空間直欠坐標(biāo)系． 　　由已知得 　　(1)設(shè)，則， 　　得， 　　 　　 　　即 　　解得，即．　　(4分) 　　(2)設(shè)平面FAC1的一個法向量為 　　，由得， 　　又由，得， 　　仿上可得平面ACC1的一個法向量為　　(6分) 　　．故二面角F－AC1－C的大小為　　(8分)