Question

1．已知拋物線C：y²=4x，P為C上一點(diǎn)且縱坐標(biāo)為2，Q，R是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ⊥PR．
（Ⅰ）求過點(diǎn)P，且與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程；
（Ⅱ）求證：QP過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線y=2符合題意，當(dāng)y≠2時(shí)，設(shè)l的方程m（y-2）=x-1，代入拋物線方程，由△=0，即可求得m的值，直線l的方程；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，a-2），$\overrightarrow{PR}$=（$\frac{{b}^{2}}{4}$-1，b-2），則$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{PR}$=0，則ab+2a+2b+20=0，而過QR的直線的斜率為：$\frac{a-b}{\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{b}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{a+b}$，整理得4x-20-（a+b）（y+2）=0．可得直線恒過定點(diǎn)（5，-2）．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知P（1，2），顯然直線y=2符合題意；
當(dāng)y≠2時(shí)，設(shè)l的方程m（y-2）=x-1，
$\left\{\begin{array}{l}{m（y-2）=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my+8m-4=0，
令△=（4m）²-4（8m-4）=0，解得：m=1，
∴y=x+1，
∴直線l的方程y=2或y=x+1；
（Ⅱ）證明：設(shè)Q（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a），R（$\frac{{b}^{2}}{4}$，b），而P（1，2），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，a-2），$\overrightarrow{PR}$=（$\frac{{b}^{2}}{4}$-1，b-2），
由于PQ⊥PR，得向量$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{PR}$=0，
即為（$\frac{{a}^{2}}{4}$-1）（$\frac{{b}^{2}}{4}$-1）+（a-2）（b-2）=0，
整理得ab+2a+2b+20=0．
而過QR的直線的斜率為：$\frac{a-b}{\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{b}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{a+b}$．
∴過QR的直線方程為y-b=$\frac{4}{a+b}$（x-$\frac{{b}^{2}}{4}$），
整理得：4x+ab-（a+b）y=0，
即4x-（a+b）y-2a-2b-20=0．
化為4x-20-（a+b）（y+2）=0．可得直線恒過定點(diǎn)（5，-2）．
∴直線QR必過定點(diǎn)（5，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了直線系方程的運(yùn)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．