Question

如圖邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G，已知△A′DE是△ADE繞DE旋轉過程中的一個圖形，則下列命題中正確的是    ．
①動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱錐A′-FED的體積有最大值．

Answer 1

【答案】分析：根據已知結合等腰三角形三線合一，線面垂直及面面垂直的判定定理，可證得平面ABC⊥平面A′GF，進而根據面面垂直的性質可判斷①；由A′與A，F兩點重合時，BC?平面A′DE可判斷②；當平面ABC⊥平面A′DE時，三棱錐A′-FED的高取最大值，三棱錐A′-FED的體積取最大值，可判斷③．
解答：解：∵等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G，
∴G為AF和DE的中點，且AF⊥DE于G點
則△A′DE與△FDE均為等邊三角形，
∴A′G⊥DE且FG⊥DE
又∵A′G∩FG=G，A′G，FG?平面A′GF
∴DE⊥平面A′GF
又由DE?平面ABC
∴平面ABC⊥平面A′GF
故動點A′在平面ABC上的射影在兩個平面的交線線段AF上；故①正確
由BC∥DE，當BC?平面A′DE，即A′與A，F兩點不重合時，BC∥平面A′DE；
但A′與A，F兩點重合時，BC?平面A′DE；故②錯誤
當平面ABC⊥平面A′DE時，三棱錐A′-FED的高取最大值，三棱錐A′-FED的體積取最大值．故③正確
故正確的命題有①③
故答案為：①③
點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了直線與平面平行的判定，線面垂直，面面垂直的判定與性質，棱錐的體積，難度不大，屬于基礎題．