Question

如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H，K，L分別為平行六面體棱的中點．求證，
（1）

LE

+

FG

+

HK

=

0

；
（2）E，F，G，H，K，L六點共面．

Answer 1

分析：（1）通過空間向量基本定理，利用基底表示

LE

，

FG

，

HK

即可得到三者的關系．
（2）利用公理2的推論可得四點共面，然后利用同一法可證得E，F，G，H，L六點共面．

解答：證明：（1）設

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，
則

LE

=

LD1

+

D1E

=

1

2

CD

+

1

2

DA

=-

1

2

a

-

1

2

b

，

FG

=-

1

2

AB

+

1

2

AA1

=

1

2

a

-

1

2

c

，

HK

=

1

2

BC

+

1

2

CC1

=

1

2

b

+

1

2

c

，
∴

LE

+

FG

+

HK

=

0

（2）∵

FE

=

1

2

b

+

1

2

c

，
∴

FE

=

HK

，∴EF∥HK 由公理2可知，E，F，H，K四點共面．
連接AC，FK，∵G，H為AB，BC的中點∴GH∥AC 
∵AF∥CK  AF=CK∴四邊形ACKF為平行四邊形∴AC∥FK
∴GH∥FK∴F，G，H，K四點共面
由公理2知：過不共線的三點有且只有一個平面，∴E，F，G，H，K，L六點共面．

點評：本題主要考查空間點，線，面的位置關系以及空間向量的運算，注意利用公理2確定平面的方法，是個基礎題．