Question

如圖正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直．點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0＜a＜

2

）．
（1）求MN的長；
（2）當a為何值時，MN的長最小．

Answer 1

分析：（1）作MP∥AB交BC于點，NQ∥AB交BE于點Q，連接PQ，易證MNQP是平行四邊形，根據MN=PQ，即可求出MN的長；
（2）根據（1）將MN 關于a的函數進行配方即可求出MN的最小值，注意取最小值時a的取值即可得到結論．

解答：解：（1）作MP∥AB交BC于點P，NQ∥AB交BE于點Q，連接PQ，

依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形，∴MN=PQ
由已知CM=BN=a，CB=AB=BE=1
∴AC=BF=

2

，CP=BQ=

a

2

∴MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

（0＜a＜

2

）；
（2）由（1）MN=

(a- 2 2 )2+ 1 2

（0＜a＜

2

）
∴當a=

2

2

時，MN的長最小為

2

2

即當M、N分別為AC、BF的中點時，MN的長最小，最小值為

2

2

．

點評：本題考查空間距離的計算，考查配方法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．