Question

已知f（x）=lg（ax-bx），（a、b為常數）
（1）當a＞b＞0時，求f（x）的定義域；
（2）當a＞1＞b＞0時，判斷f（x）在定義域內的單調性；
（3）當a＞1＞b＞0時，f（x）在（1，+∞）上恒為正，求a、b滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）定義域即ax-bx＞0，由此能求出其定義域．
（2）取x₁＞x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）=lg[x₁（a-b）]-lg[x₂（a-b）]=lg

x1(a-b)

x2(a-b)

=lg

x1

x2

＞lg1=0，故函數f（x）在定義域上單調遞增．
（3）由題設條件知f（x）＞f（1）=log（a-b）＞0，即a-b＞1．

解答：解：（1）定義域即ax-bx＞0
x（a-b）＞0∵a＞b，∴a-b＞0
只需x＞0即可，∴定義域為：x＞0
（2）取x₁＞x₂＞0，
f（x₁）=lg[x₁（a-b）]
f（x₂）=lg[x₂（a-b）]
f（x₁）-f（x₂）=lg[x₁（a-b）]-lg[x₂（a-b）]
=lg

x1(a-b)

x2(a-b)

，
∵a＞1＞b＞0，∴a-b≠0，約去得：
f（x₁）-f（x₂）=lg

x1

x2

∵x₁＞x₂＞0，∴

x1

x2

＞1，
即f（x₁）-f（x₂）=lg

x1

x2

＞lg1=0
∴f（x₁）＞f（x₂）
即函數f（x）在定義域上單調遞增
（3）f（x）=log[ax-bx]在（1，+∞）上＞0恒成立，
且f（x）單調遞增
∴有f（x）＞f（1）=log（a-b）＞0，
即a-b＞1．

點評：本題考查對數函數的性質和應用，解題時要認真審題，合理求解，注意公式的靈活運用．