Question

已知定義在R上的函數f（x）是奇函數且滿足f(

3

2

-x)=f(x)，f（-2）=-3，數列{a_n}滿足a₁=-1，且S_n=2a_n+n，（其中S_n為{a_n}的前n項和）．則f（a₅）+f（a₆）=（　　）

• A、-3
• B、-2
• C、3
• D、2

Answer 1

分析：先由函數f（x）是奇函數和f(

3

2

-x)=f(x)，推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3為周期的周期函數．再由a₁=-1，且S_n=2a_n+n，推知a₅=-31，a₆=-63計算即可．

解答：解：∵函數f（x）是奇函數
∴f（-x）=-f（x）
∵f(

3

2

-x)=f(x)，
∴f(

3

2

-x)=-f(-x)
∴f（3+x）=f（x）
∴f（x）是以3為周期的周期函數．
∵a₁=-1，且S_n=2a_n+n，
∴a₅=-31，a₆=-63
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3
故選C

點評：本題主要考查函數性質的轉化與應用以及數列的通項及求和公式，在函數性質綜合應用中相互結合轉化中奇偶性，對稱性和周期性之間是一個重點．