Question

已知正方形ABCD的邊長為1，分別取邊BC、CD的中點E、F，連結AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點B、C、D重合于一點P.

(1)求證：AP⊥EF；

(2)求證：平面APE⊥平面APF；

(3)求異面直線PA和EF的距離.

Answer 1

(1)證明:如下圖，∵∠APE＝∠APF＝90°，PE∩PF＝P，∴PA⊥平面PEF.

    ∵EF平面PEF,∴PA⊥EF.

(2)證明:∵∠APE＝∠EPF＝90°，AP∩PF＝P，∴PE⊥平面APF.又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.

(3)解:在面PEF中，作PＧ⊥EF,垂足為G，

    ∵AP與面PEF垂直，PG平面PEF，

    ∴AP⊥PＧ，PＧ⊥EF，PG是AP與EF的公垂線.在等腰Rt△PEF中，PE＝PF＝，∠EPF＝90°，∴PＧ＝EＧ＝.