Question

已知函數f（x）=4sinωxsin²（

ωx

2

+

π

4

）+cos2ωx，其中ω＞0．
（1）當ω=1時，求函數f（x）的最小正周期；
（2）若函數f（x）在區間[-

π

2

，

2π

3

]是增函數，
（3）求ω的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用三角函數的恒等變換求出正弦型函數，進一步求出函數的最小正周期．
（Ⅱ）利用第一步的結果，進一步利用所給的定義域與單調區間的子集的關系從而確定ω的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題可知：f（x）=4sinωx

1-cos(ωx+ π 2 )

2

+cos2ωx=2sinωx+1，
當ω=1時，f（x）=2sinx+1，則T=2π
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=2sinωx+1，欲使f（x）在[-

π

2

，

2π

3

]上單調遞增，
則有[-

π

2

，

2π

3

]⊆[-

2π

4ω

，

2π

4ω

]，
∴-

π

2

≥-

2π

4ω

，

2π

3

≤

2π

4ω

，
∴0＜ω≤

3

4

，于是ω∈（0，

3

4

]．

點評：本題考查的知識要點：三角函數的恒等變換，正弦型函數最小正周期的應用，利用函數的單調區間求ω得取值范圍．屬于基礎題型．